Trung bình có hệ số

Cho n số x1, x2,..., xn ≥ 0
và các hệ số α1, α2,..., αn > 0

Đặt α = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} .

Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân cũng đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số, như sau:

α 1 x 1 + α 2 x 2 + ⋯ + α n x n α ≥ x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n α {\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}

Với các loại trung bình khác

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

n 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n ≤ x 1 x 2 . . . x n n ≤ x 1 + x 2 + . . . + x n n {\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}...x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}}}

Đẳng thức khi và chỉ khi x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}